Zwei Spaziergänger gehen mit 5km/h aufeinander zu. Als sie noch 500m voneinander entfernt sind, rennt der Hund des einen mit 15km/h in Richtung des anderen. Kehrt aber sofort um, als er diesen erreichte und beginnt das Spiel sofort von vorn. Welche Strecke legt der Hund zurück?
Von der Aufgabenstellung her wird schnell klar, dass der Weg des
Hundes bei jeder Wende kürzer wird. Die Frage ist um wie viel?
Ist es eine geometrische Reihe
[
]?
Die Skizze rechts zeigt die Situation: Die Zeitachse zeigt nach oben,
die beiden Spaziergänger (blau) kommen sich näher, während der
Hund (braun) hin und her rennt.
Dieser Ansatz würde zum Ziel führen. Aber es gibt einen viel einfacheren Ansatz, den man gerne übersieht: Die beiden Spaziergänger nähern sich mit insgesamt 10km/h, brauchen also für die 500m gerade mal 3 Minuten. Und genau das ist auch die Zeit, die der Hund zur Verfügung hat. In dieser Zeitspanne legt er 750m zurück.
Überprüfen wir die Lösung mittels der ersten Idee: Zuerst kommen sich der Hund und die Person rechts mit insgesamt 20km/h näher. Damit brauchen sie für die 500m 1.5 Minuten, wobei der Hund 375m zurücklegt. In der Zeit haben sich beide Personen auf 250 Meter genähert. Jetzt kommen sich Hund und die linke Person wiederum mit 20km/h näher. Das dauert nur noch 45 Sekunden und der Hund legt 187.5 Meter zurück. In der Zeit verringert sich die Distanz zwischen den Spaziergänger um weitere 125 Meter. man erkennt recht rasch, dass sich die Distanz jedes mal um Faktor 2 reduziert:
Es ist also eine geometrische Reihe (ak = a0qk) mit q = 0.5 und a0 = 375. Da q < 1 ist, konvergiert die Summe aller Einzelwerte zu einem Grenzwert. Es gilt: S∞ = a0/(1 – q). Für unser Beispiel ergibt dies die bekannten 750m. Den Faktor 2 (respektive q=0.5) kann man auch aus dem Vergleich der beiden Gesamtgeschwindigkeiten Person+Person (=10km/h) versus Person+Hund (=20km/h) herleiten.